On appelle rationnel un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction \(\frac{a}{b}\), \(a\) et \(b\) étant des nombres entiers (\(b \ne 0\)).
On ne peut donc pas avoir deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \(\frac{a}{b}=\sqrt 2\).
La raison en est que si l’on avait \(\frac{a}{b}=\sqrt 2\), \(a\) et \(b\) seraient simultanément pairs, ce qui est impossible si l’on considère la fraction \(\frac{a}{b}\) comme irréductible. Or, il est toujours possible de rendre irréductible une fraction, en conséquence de quoi il est possible de supposer qu’une fraction est irréductible. Et si elle est irréductible, on ne peut pas avoir \(a\) et \(b\) pairs simultanément.
\(\frac{a}{b}=\sqrt2 \Rightarrow a=b\sqrt2 \Rightarrow a^2=(b\sqrt2)^2 \Rightarrow a^2=b^2(\sqrt2)^2\Rightarrow a^2=2b^2\)
On voit qu’une écriture fractionnaire de \(\sqrt 2\) mène à mène à \(a^2=2b^2\). D’où il suit que \(a^2\) serait pair, et donc \(a\) aussi.
Puisque \(a\) est pair, on pose \(a=2c\), d’où il suit
\( a^2=2b^2\Rightarrow (2c)^2=2b^2\Rightarrow (2)^2c^2=2b^2\Rightarrow 4c^2=2b^2\Rightarrow b^2=2c^2\)
d’où \(b^2\) serait pair, et donc \(b\) aussi, ce qui est impossible, soit parce que les deux nombres ne peuvent pas être pairs simultanément puisqu’on est partis d’une fraction irréductible ; soit parce qu’ayant conclu précédemment que \(a\) est pair, on pouvait en déduire que \(b\) est impair (puisque la fraction est irréductible), ce qui rend impossible de conclure par la suite que \(b\) est pair.
En résumé
\(a\) pair \(\Rightarrow b\) pair \(\Rightarrow contradiction\)
ou encore
\(a\) pair \(\Rightarrow b\) impair \(\Rightarrow b\) pair \(\Rightarrow contradiction\)
Il faut noter que ce raisonnement par l’absurde fonctionne avec tout nombre premier, et pas seulement avec le nombre premier 2, \(\sqrt p\) avec \(p\) premier ne peut pas s’écrire sous forme fractionnaire, et ce, pour des raisons analogues à savoir que la divisibilité de \(a\) par \(p\) impliquera la divisibilité de \(b\) par \(p\), ce qui est impossible puisque partant d’une fraction irréductible \(\frac{a}{b}\), \(a\) et \(b\) ne peuvent pas être divisibles par un même nombre, par définition de l’irréductibilité.
\(\frac{a}{b}=\sqrt p\Rightarrow a^2=pb^2\)
Si \(a^2\) est divisible par \(p\), \(a\) est alors aussi divisible par \(p\), de même que précédemment le fait que \(a^2\) soit pair a impliqué que \(a\) était pair.
Puisque \(a\) est divisible par \(p\), on pose \(a=pc\), d’où il suit
\(a^2=pb^2\Rightarrow\left(pc\right)^2=pb^2\Rightarrow p^2c^2=pb^2\Rightarrow\ b^2=pc^2\)
On obtient \(b^2=pc^2\), ce qui fait que \(b^2\) serait divisible par \(p\), et donc \(b\) aussi, ce qui est impossible. Précédemment la divisibilité par 2 de \(a\) menait à la divisibilité par 2 de \(b\), ce qui est impossible ; ici la divisibilité par \(p\) de \(a\) mène à la divisibilité par \(p\) de \(b\), ce qui est tout aussi impossible.
Mais il existe une autre raison, presque risible celle-là tant elle devrait sauter aux yeux, qui rend impossible l’écriture \(a^2=pb^2\), \(p\) étant un nombre premier. C’est que \(p\), en tant que nombre premier, fait partie de la décomposition en facteurs premiers de \(pb^2\).
Or, le nombre d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers d’un carré est pair puisque c’est deux fois la même liste de nombres premiers. Si donc on avait \(a^2=pb^2\), on aurait, d’un côté, un nombre pair d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers, et, de l’autre, un nombre impair d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers, puisqu’au carré \(b^2\) auquel est associé un nombre pair d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers, s’ajoute le nombre premier \(p\), rendant ainsi impair le nombre d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers de \(pb^2\), ce qui est impossible. Comme ces nombres sont censés être égaux, leur décomposition en facteurs premiers est la même, il est donc impossible d’avoir, d’un côté, un nombre pair d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers, et, de l’autre, un nombre impair d’éléments dans la décomposition en facteurs premiers. Ce qui rend impossible une écriture du type \(a^2=pb^2\) (avec \(p\) premier).