La justification du théorème de Pythagore ne requiert aucun calcul.

À partir du moment où la hauteur projetée depuis l’angle droit sur l’hypoténuse crée deux triangles non seulement semblables mais aussi semblables au triangle d’origine, nous sommes en présence de trois triangles semblables.

Les carrés dans la formule de Pythagore ne sont autres que l’expression de cette similitude.

Par similitude, on entend des objets qui ne diffèrent que par la grandeur. Ces trois triangles étant semblables, ils ne diffèrent que par la grandeur et pourraient s’emboîter comme des poupées russes.

Soit S une surface plane quelconque. Si l’on α-modifie (lire “alpha-modifie”) S dans les deux dimensions à la manière d’une photographie qui devient plus grande ou plus petite, la surface alpha-modifiée est alors semblable à la surface d’origine et est égale à α²S. Ce qui se comprend immédiatement si l’on tient compte que l’élément neutre surfacique est 1² en sorte que S=1²S. En remplaçant 1 par α, on obtient α²S.

Cela se conçoit également en considérant un rectangle ayant pour côtés a et b : a α-modifié devient αa et b α-modifié devient αb, en sorte que la surface du rectangle semblable α-modifié est α²ab. Mais ce coefficient surfacique de similitude α² s’applique à toute surface S qu’on n’a même pas besoin de savoir calculer, quelle que soit la complexité de son expression algébrique.

Or, la hauteur projetée sur l’hypoténuse crée deux triangles rectangles semblables, l’un d’hypoténuse a et l’autre d’hypoténuse b.

Soit U la surface d’un triangle rectangle semblable d’hypoténuse unité : tout triangle rectangle semblable d’hypoténuse α aura pour surface α²U. Ce qui signifie que la surface de tout triangle rectangle semblable α-modifié est α²U, soit le carré de l’hypoténuse multiplié par l’unité arbitraire U.

Il en résulte que :

d’où la formule de Pythagore obtenue sans calculs : a²U+b²U=c²U.

Voir la vidéo correspondante sur ma chaîne Odysee.